Pliage fractal
On plie une bande de papier toujours dans le même sens, n fois. On déplie ensuite le pliage obtenu et dispose les plis de façon à former des angles droits dans le sens où ils ont été pliés. On s'intéresse à la figure obtenue lorsque l'on regarde le pliage de côté.
On cherche:
- Le nombre de segments de la figure obtenue
- Les dimensions de la grille dans laquelle la figure obtenue peut tenir (on prend comme unité de la grille la longueur des segments de la figure)
Recherches
Nombre de segments de la figure obtenue
Pour chaque nouveau pliage, on plie chaque segment en deux. Le nombre de segment est donc doublé à chaque pliage, il y a donc: 2^n segments.
Taille de la figure
Nous avons remarqué que la figure à un rang n + 1 est composée de la figure au rang précédent n répétée deux fois en partant du même point mais avec un angle droit à la jointure (voir images plus bas).
Nous avons ensuite choisi de représenter les angles de la figure sous la forme d'une liste de 0 et de 1: 0 et 1 correspondant à un angle dans un sens et dans l'autre. Cette liste est définie par une fonction de récurrence telle que: A(n + 1) = join(inv(A(n)), [0], A(n)). Où inv(liste) est une fonction qui inverse l'ordre des éléments de la liste et qui remplace les 0 par des 1 et les 1 par des 0 (exemple: inv([1, 0, 1, 1]) = [0, 0, 1, 0]) et join(listes) une fonction qui créé une nouvelle liste issue des listes données.
Les listes obtenues (en partant du rang n = 1) sont donc: [0], [1, 0, 0], [1, 1, 0, 0, 1, 0, 0], [1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0], ...
Nous avons donc créé un programme en python puis un simulateur en ligne sur le même principe permettant de trouver la figure à un rang n. Voici les figures obtenues pour certains rangs donnés:
rang 1
rang 2
rang 3
rang 4
rang 5
rang 12
rang 16
Sur les images, le point rouge représente les points de jonction entre les deux figures au rang n qui forme la figure au rang n + 1.
La figure semble former une fractale qui se précise de plus en plus lorsque l'on augmente le nombre de pliages n.
À l'aide du programme nous avons pu mesurer les dimensions de la figure pour certains rangs, par exemple en partant du rang n = 1 on a une figure de dimensions: 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 6/7, ...
Après observation des figures au rangs pairs et impairs, en superposant quelques une de ces figures, nous avons remarqué que:
- Pour passer d'un rang pair n au suivant n + 1, on a: l_{n + 1} = l_{n} \times 2 + 1 et L_{n + 1} = L_{n} \times 2 + 1 (l et la longueur et L est la largeur de la figure)
- Pour passer d'un rang impair au suivant, une fois sur deux, on a: l_{n + 1} = l_{n} \times 2 et L_{n + 1} = L_{n} \times 2 + 1 puis l_{n + 1} = l_{n} \times 2 + 2 et L_{n + 1} = L_{n} \times 2 + 1
Nous avons ensuite décidé d'écrire l et L sous la forme d'une matrice:
\begin{pmatrix}
l \\
L
\end{pmatrix}
Nous avons choisi de représenter les expressions des dimensions aux rangs pairs et impairs sous la forme de suites définies par récurrence, P pour les rangs pair et I pour les rangs impairs:
\begin{cases}
P_{2} = \begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix} \\
P_{n + 2} = 2 P_{n} + \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}
\end{cases}
\begin{cases}
I_{1} = \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} \\
I_{n + 2} = \begin{cases}
2 I_{n} + \begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} & \text{si } n \equiv 3 [4] \\
2 I_{n} + \begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} & \text{si } n \equiv 1 [4]
\end{cases}
\end{cases}
Ces formules sont de simples conjectures.